Linear Algebra and Eigenvalues

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給定一個 $A \in R^{n \times n}$ 矩陣， $R_{i}$ 記為一個在複數平面上的圓，圓心是 $a_{i i}$ ，半徑是 $Σ_{j = 1, i \neq j}^{n} | a_{i j} |$ ，也就是同一個 row 裡面除了圓心以外的其他元素的總和，所以

$R_{i} = {z \in C | | z - a_{i i} | \leq Σ_{j = 1, i \neq j}^{n} | a_{i j} |}$ ， $\forall i = 1, 2, . . ., n$

A 的特徵值(eigen value) 會被包含在這些圓( $R = \cup_{i = 1}^{n} R_{i}$ ) 的聯集內，如果 A 是對角矩陣，那麼圓半徑會退化到 0

證明：

然後如果有 k 個圓的聯集和剩下的 n-k 個圓聯集沒有交集，那麼前者會包含 k 個特徵值，而後者則恰有 n-k 個特徵值

要逼近特徵值的我們很常使用迭代法，所以先用 Gershgorin circle 找到一個範圍，拿來讓 initial guess 參考是很不錯的選擇，可以提供很好的 initial guess