(WIP) Games105：Character Kinematics & Keyframe Animation

Mes4/17/25About 6 min

Games105：Character Kinematics & Keyframe Animation

Character Kinematics

這章會講前向運動學與逆向運動學的基本知識，運動學是研究物體運動的一個學科，但它有一個前提條件是不考慮物體的質量和力，如果考慮了質量和力就不再是運動學，而是動力學了

本章後面會有很大一部分的篇幅涉及到動力學，介紹該如何實現基於物理仿真的角色動畫。角色的範圍是比較大的，人是最常用的，但其他像是動物或機械臂之類的也都算在角色的範圍內，因此這方面和機器人動力學有很大一部分是重疊的

一般來說我們認為角色的身體本身是剛性的，並且只會透過關節進行旋轉，以人為例，我們知道身體的移動式圍繞著關節進行的，例如轉動手臂時，關節確保了上臂與前臂不會分離，只會圍繞著關節旋轉

我們可以將人的建模抽象成這樣：

在這個模型中，關節（Joint）負責連接不同的 Body，在不同領域中也有可能被稱為 Bone 或 Link 等，但總之我們在建模中可以把整個身體抽象成若干個骨骼的組合，通常每兩個骨骼之間會有一個關節進行連接。不過在動畫中我們大部分不會太關注骨骼的形狀，而是關心關節的位置與關節的旋轉對姿勢造成的改變

如果我們直接去旋轉某一個關節，是無法正確產生想要的姿勢的，這種情況下，角色在動作的時候骨骼會有分離的現象：

因此實際上我們需要準確計算每個關節的旋轉所帶來的影響，精確來說，要計算每一個關節在旋轉後它的位置和朝向，這整個計算過程就是所謂的前向運動學

Kinematics of a Chain

假設下圖是一個機械臂，上面有五個關節：

我們可以認為每個關節上都有一個對應的座標系，這個座標系在全域座標系內的方向被定義為關節的朝向。由於它一開始與全域座標系是重合的，因此它的朝向就是單位矩陣，例如我們把最後一個關節旋轉了一下，此時它不會影響到前面的關節，只會影響到最後一個關節，因此 $Q_{4}$ 的朝向就變為了下圖的 $R_{4}$ ：

Info

圖中的 $Q$ 代表對應關節的朝向，而 $R$ 則代表對應關節的旋轉，可以先簡單理解為旋轉矩陣，但後面會提到除了旋轉矩陣以外的表達方式

接著我們往前一步，如果我們去旋轉前一個關節（3 號），那它其實會同時旋轉後兩個關節（3、4 號），所以第三個關節地朝向會變為 $R_{3}$ ，而第四個關節地朝向則會變成 $R_{3} R_{4}$ ：

依此類推，我們繼續不斷的旋轉前一個關節，你會發現每次旋轉都會對後一個子關節地朝向造成變化，最終我們旋轉完整個機械臂後會得到這樣的一個姿態，這個姿態裡面每一個關節地朝向都是其根節點到父節點的乘積，乘上該關節的旋轉：

反過來說，如果我們知道父節點朝向，與當前關節的旋轉，那便可以直接計算出當前關節的朝向；同樣地，如果我們知道父關節的朝向，及當前關節的朝向，那我們其實也可以計算出這個關節相對旋轉了多少，只需要對父關節求逆再乘以當前關節的朝向即可：

我們可以從另一個角度看這個問題，前面提到我們假設每一個關節上都綁定了一個座標系，那假設座標系的原點落在關節旋轉的點上，那在這個過程中我們就只需要計算相對旋轉即可，例如我們旋轉 0 號關節，此時我們要做的是將 1 號關節在 0 號關節的座標系中的座標，轉換成全域座標：

同樣地將 1 號關節旋轉後我們計算 2 號關節的全域座標，依此類推做下去，當到了最後一個關節十，我們就可以計算出每一個關節的座標系的朝向，以及其原點的位置了：

而對於局部座標系內的任意點，假設位於 4 號關節座標系內的點 $x_{0}$ ，要計算它的全域座標也很簡單，只要如法炮製的將它乘以座標系的朝向 $Q_{4}$ ，再加上 $p_{4}$ 即可。如果我們還進一步的知道 3 號關節的朝向與原點的全域位置，那就可以再算出 $x$ 在 3 號關節的局部座標系中的座標：