（WIP）Games101：Geometry（幾何）

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Games101：Geometry（幾何）

這章我們要來看一些具體的幾何的例子，和一些不同的幾何表示方法，像是下圖玻璃的杯子，上面有各種不同的曲線，這些曲線該如何被描述呢？

再來是像下面這台車，在車頭的曲面上我們可看不到任何三角形，他是一個非常光滑的曲面，不管我們離多近，都看不到離散的三角形，這在圖學裡面又該如何被描述呢？

Ways to Represent Geometry

Implicit geometry

在圖學裡我們有兩種表示幾何的方法，第一種是隱式的幾何（Implicit geometry），另一種是顯式的幾何（Explicit geometry）。隱式的幾何會以關係式來表示目標形體，例如一個三維空間裡面的單位球可以被寫成 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ ，只要我們有了一個三維空間中的座標，就能夠判斷它是不是在這個球面上

隱式幾何的壞處在於，當今天給我們一個式子，我們難以看出他表示的是什麼形狀，例如下圖是一個圓環，但單看式子我們其實很難看出來他是一個圓環

而隱式幾何的優點在於，我們很容易地可以判斷一個點在不在幾何的面上，因為只需要把我們的座標帶入函數就可以算出來了，通常為 0 就代表在表面上，如果是個負數就代表在幾何內部，反之如果是個正數就代表在幾何外面。當然，這還是要看你的式子怎麼定義的，但通常我們會設 $f (x, y, z) = 0$

Explicit geometry

顯式的幾何是比較典型的表示方法，我們之前用的三角形面就是顯式的表示方法，真的給我們一些點，組成三角形，進而將模型表現出來。但還有另一種顯式的方法，稱為參數映射，以下圖為例，你可以看到我們定義了要如何將給定的 $(u, v)$ 座標，映射到空間中的某一個點：

也就是說，我們可以定義一個函數，輸入是 $u$ 和 $v$ ，而輸出是 $x$ 、 $y$ 與 $z$ 。因此如果我們把所有的 $u$ 、 $v$ 都走一遍，就可以找到它對應的所有 $x$ 、 $y$ 與 $z$

再看一次圓環的例子：

這邊我們把 $u$ 、 $v$ 這兩個參數映射成了空間中的實際一個點，具體來說：

$x = (2 + c o s u) c o s v$
$y = (2 + c o s u) s i n v$
$z = s i n u$

這就是為什麼他也叫顯式幾何，如果我們想知道這個幾何長怎樣，只要把 $u$ 、 $v$ 空間上的每一個 $u$ 、 $v$ 都測一遍就可以知道了

顯式幾何的缺點是，當給我們一個三維空間中的點，我們很難去判斷一個點在不在目標幾何的表面上，或說表面的內或外

Implicit Representations in Computer Graphics

現在我們再來多介紹一些隱式的幾何，如剛剛所講的，隱式的問題在於不直觀，例如下圖：

球面的公式我們可能可以看出來，而圓環的公式就已經有點勉強了，再到更右邊的心型就更難看了。如果我們想要直接找到一個公式能代表上圖中的乳牛，那更是不可能

但還是有一些工具的幫助我們組合出幾何的形狀，所以接下來就來介紹一下

Constructive Solid Geometry

首先要介紹的方法叫做 Constructive Solid Geometry，簡稱為 CSG。他做的事是透過一系列基本的幾何運算，來組合出一個新的幾何，見下圖：

圖中的 A、B 為一個圓柱和一顆球，他們的參數式很好求，而我們這邊透過布林運算將他們組合到了一起。這邊的布林運算就與集合論裡面的操作是一樣的，做 intersection 就是取他們交集的部分，取 union 就是兩者的並集，而差集也可以定義，只要從 A 中間減去 B 所佔據的 A 的部分即可，反之同理

透過這些運算和一些簡單的基礎幾何，就可以向上圖下方那樣組出一些複雜的幾何，並輸出成參數式。現代大部分的建模軟體，像是 Maya、Auto CAD 等都支持這個操作，是一個非常常見的做法

Distance Function

下一個要講的是距離函數，這也是一個用來描述幾何的方法，其表現能力非常強。對於任何一個幾何，它都不會直接去描述它的表面，而是去描述任何一個點到這個表面的最近距離，這個距離可以是正的或負的

看個例子：

這裡你可以看到有兩個球，當他們逐漸靠近的時候，拓樸結構上會發生一些變化，最後融合起來。這件事情就是通過對幾何的距離函數做 Blend（混合）達成的

再來看個比較具體的例子：

這邊用的距離函數被稱為 Signed Distance Function（SDF）。我們的目的是要將 A 與 B 這兩個不同的方塊混合，他們各自擁有一部分的黑色區域與一部分的空白區域。如果我們直接做線性的混合，那他會變成一個黑⭢灰⭢白的方塊，因為重疊的部分肯定最黑，而中間部分只有 B 有塗色，所以是灰的，而最右邊都沒塗色，所以是白的

但如果我們想要得到的結果是，左邊一半是黑的，右邊一半是白的，這樣的方塊，那就得用 SDF 了。把 A 求出一個距離函數，B 求一個距離函數，混合後我們就能取到右下角方塊中間的那條黑線。那條黑線代表的就是距離函數等於 0 的狀態，接下來我們就可以根據其他位置距離函數的值來判斷黑/白（左/右）

知道原理後再看這個例子，就可以知道為什麼會有這樣的結果了：